1.- La Tierra gira alrededor del Sol en una orbita aproximadamente circular. La distancia entre la Tierra y el Sol es de 1.5 \times 10^{8} Km. Si suponemos que la orbita es circular entonces podemos calcular, facilmente, la distancia que recorre la Tierra en su orbita alrededor del Sol. Este resultado nos servira para conocer la velocidad con que se mueve la Tierra en su orbita, y conociendo dicha velocidad podremos ``pesar al Sol'', es decir, calcular su masa. a) Calcule la velocidad de la Tierra en su orbita alrededor del Sol. b) Calcule la masa del Sol. Solucion Para representar los parametros involucrados en el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, consideraremos que M es la masa del Sol, m es la masa de la Tierra, y r es la distancia entre sus centros. a) A la rapidez con la cual un cuerpo gira se le llama velocidad de rotacion. En mecanica la velocidad de un cuerpo esta dada por v = d/t donde d es la distancia recorrida y t el tiempo empleado en recorrer dicha distancia. Suponiendo que la Tierra se mueve en una orbita circular alrededor del Sol, la distancia recorrida por la Tierra equivale al perimetro de la circunferencia descrito por ella. El tiempo empleado sera el utilizado en completar una vuelta alrededor del Sol (un a\~no). Con base en lo anterior tendremos que la velocidad orbital de la Tierra esta dada por v = \frac{2 \pi r}{t} El radio de la orbita de la Tierra es r = 1.5 \times 10^{8} km = 1.5\times 10^{11} m. El tiempo empleado en dar una vuelta t = 1 a\~no = 3.2 \times 10^{7} s. Sustituyendo estos valores en la ecuacion anterior tenemos que v = 29 km/s La Tierra en su trayectoria circular experimenta una fuerza centripeta que por la segunda Ley de Newton (F=ma) esta dada por: F_{c} = m \frac{v^{2}}{r} La fuerza centripeta F_{c} es precisamente la fuerza de atraccion gravitacional que esta dada por la siguiente ecuacion: F_{g} = G \frac{M m}{r^{2}} donde G = 6.67 \times 10^{-11} m^{3} kg^{-1} s^{-2} Puesto que estas dos ecuaciones son expresiones diferentes de la misma fuerza F, podemos igualar ambas ecuaciones G \frac{M m}{r^{2}} = m \frac{v^{2}}{r} Simplificando esta expresion obtenemos G \frac{M}{r^{2}} = v^{2} Por lo que la masa del Sol, M, estara dada por M = \frac {r v^{2}}{G} Sustituyendo los valores de r, v y G en la ecuacion anterior obtenemos que la masa del Sol es M = 2 \times 10^{30} kg. 2.- Un hoyo negro es una region del espacio-tiempo donde el campo gravitacional es tan intenso que ni siquiera la luz puede escapar de el. a) Utilizando la ley de la conservacion de la energia, calcule el radio que debe tener la Tierra para que sea un hoyo negro. La masa de la Tierra es 5.98 \times 10^{24} kg y su radio es de 6.37 \times 10^{6}m. b) Considerando la rotacion de la Tierra sobre su eje (una vuelta por dia) y la conservacion del momento angular durante ``la contraccion'' de la Tierra hacia un hoyo negro, calcule el radio para el cual se equilibrarian la fuerza centrifuga y la fuerza gravitacional. c) Compare las respuestas de los incisos anteriores y explique si es posible que la Tierra se convierta en un hoyo negro. Solucion a) La velocidad de escape es la velocidad minima que debemos suministrar a un cuerpo para que logre vencer el campo gravitatorio de otro. Para que un objeto escape de la Tierra y nunca mas regrese, debe lanzarse con una velocidad mayor que la que se requiere para ponerlo en orbita. Consideremos una velocidad de escape tal que, cuando a un objeto le imprimimos justamente esta velocidad de escape, este tendra una velocidad cero en un punto en el ``infinito'', en donde su energia total (ET = E. cinetica + E. potencial) sera ET(\infty) = \frac{m v^{2}}{2} - \frac{G m M}{R_{\infty}} = 0 Debido a que la energia se tiene que conservar, entonces se requiere que en el momento del lanzamiento ET(Tierra) = 0 = \frac{m v_{esc}^{2}}{2} - \frac{G m M}{R} donde G es la constante gravitacional cuyo valor es de G = 6.67 \times 10^{-11} m^{3} kg^{-1} s^{-2}, m es una masa de prueba, M la masa de la Tierra M = 5.98 \times 10^{24} kg, y R es el radio de la Tierra, R = 6.37 \times 10^{6} m. Simplificando la expresion (8) obtenemos \frac{v_{esc}^{2}}{2} = \frac{G M}{R} v_{esc} = (\frac{2 G M}{R})^{\frac{1}{2}} Como, hasta donde se sabe actualmente, ningun objeto puede viajar mas rapido que la velocidad de la luz (c = 3 \times 10^{8} m/s), esto implica que la maxima velocidad deescape es c. Entonces la ecuacion para calcular el radio que deberia tener la Tierra para que fuera un agujero negro es R_{T} = \frac{2 G M}{c^{2}} Sustituyendo los valores de G, M y, c obtenemos R_{T} = 8.8 \times 10^{-3} m = 8.8 mm Es decir, el diametro que deberia tener la Tierra para ser hoyo negro tendria que ser aproximadamente la mitad del diametro de una pelota de ping-pong. b) Vamos a considerar a las condiciones normales de la Tierra como la etapa inicial y la contraccion en un hoyo negro como la situacion final. El momento angular L lo expresamos como L = r m v, siendo r el radio de giro, m la masa del objeto y v la velocidad de rotacion. Tomando en cuenta la conservacion del momento angular L_{i} = L_{f} = cte. y sustituyendo la expresion para L obtenemos r_{i} v_{i} = r_{f} v_{f} (la masa m se cancela). Despejando encontramos que r_{f} = \frac{r_{i} v_{i}}{v_{f}} Esta expresion nos va a permitir determinar el radio en cualquier etapa de la contraccion siempre y cuando conozcamos v_{f}. Nosotros queremos determinar el radio en el que se equilibran las fuerzas centrifuga y gravitacional, con esta condicion hacemos lo siguiente F_{g} = F_{c} G \frac{M m}{r^{2}} = m \frac{v^{2}}{r} Simplificando obtenemos r = \frac{G M}{v^{2}} Nuevamente obtenemos una ecuacion que nos va a permitir determinar el radio en cualquier etapa de la contraccion siempre y cuando conozcamos v. Para la etapa final, que estamos considerando en este problema, la expresion anterior la escribimos como r_{f} = \frac{G M}{v_{f}^{2}} Combinando las ecuaciones (14) y (18) y despejando obtenemos r_{f} = \frac{(r_{i} v_{i})^{2}}{G M} Sustituyendo los valores de G, M (masa de la tierra), r_{i} (radio de la Tierra) y v_{i} (la velocidad de rotacion de la Tierra = 463.24 m/s) obtenemos r_{f}= 22 km. c) Comparando los resultados del inciso a) y b) podemos concluir que la Tierra no se puede convertir en un hoyo negro, ya que para un radio menor que el del inciso b) la fuerza centrifuga se encargaria de despedazarla. Es decir, la Tierra no podría reducirse hasta tener un radio de 8.8 mm. 3.- La temperatura de la Fotosfera (la capa del Sol que vemos a simple vista) es de aproximadamente 6000 K. Suponiendo que el Sol emite como un cuerpo negro, a) calcule la longitud de onda en la que la emision del Sol es maxima, b) calcule la energía emitida por el Sol en el rango del visible (4000 -- 7000 Amstrongs).